Constructing eliptic curves with zero trace of Frobenius endomorphism

Authors

  • Руслан Вячеславович Скуратовський MAUP

DOI:

https://doi.org/10.18372/2410-7840.20.12208

Keywords:

finite field, elliptic curve, Edwards curve, order of a curve, Legendre symbol, square, algebraic curve, group of points of an elliptic curve, order of a point, torsion curves

Abstract

Most cryptosystems of the modern cryptography can benaturally transform into elliptic curves. We consider Edwardsalgebraic curves over a finite field, which at the presenttime is one of the most promising supports of sets ofpoints that are used for fast group operations[1,2,14].These are found in asymmetric cryptosystems. In particular,for constructing random crypto-stable sequences. It isshown that the projective curve is not elliptic. This paperaims to find the criterion and sufficient conditions for thesupersingularity of the Edwards curve and the elliptic curvein the Montgomery form over the finite field p also a generalizationof this criterion for a finite algebraic extentionof n pF . The result obtained allows us to construct an arbitrarysupersingle curve of Edwards and Montgomery withoutdecomposing on the factors the polynomial from,which is distinguished in the formula by the defining curve.Till now it was proved that only for coefficients1 d 2, d 2   over p [10]. The set of all coefficients ofd Ewhich contribute supersingularity of d E over p isresearched in this paper. Also in purpouse of our paper iscriterion and sufficient conditions of Edwards and ellipticcurves supersingularity over n pF , viz our purpouse is researchingof the parametrs set such that whereby we get apair of cirves with Frobenius trace which is equal to zero.It was found not only the set of such coefficients and characteristicsof fields where these curves are supersingularand general formula which provids a way to check for supersingularcurve over a field n p . In this paper the resultabout supersingular curves with coefficients 1 d 2, d 2  over p obtained in [10] was generalized also formulationof Theorem 3 was refined. The same research was providedfor elliptic curve in the Montgomery form over fieldsp and n p .

Author Biography

Руслан Вячеславович Скуратовський, MAUP

lecturer, MAUP, FKIT

References

H. Edwards, "A normal form for elliptic curves",

American Mathematical Society, vol. 44, no. 3, pp. 393-

, 2007.

D. J. Bernstein, P. Birkner, M. Joye, T. Lange, C. Peters,

"Twisted Edwards Curves", IST Programme

ECRYPT, and in part by grant ITR-0716498, pp. 1-17,

A. Menezes, T. Okamoto, S. Vanstone, "Reducing Elliptic

Curve Logarithms to Logarithms in a Finite

Field", IEEE Transactions On Information Theory, vol. 39,

no. 5, pp. 1603-1646, 1993.

Е. Алексеев, И. Ошкин, В. Попов, С. Смышляев,

Л. Сонина, "О перспективах использования скру-

ченных эллиптических кривых Эдвардса со станда-

ртом ГОСТ Р 34.10-2012 и алгоритмом ключевого

обмена на его основе", Материалы XVI международ-

ной конференции "РусКрипто 2014", C. 24-26, 2014.

S. Hallgren, "Linear congruential generators over

elliptic curves", Preprint CS-94-143, Dept. Of Comp. Sci.,

CornegieMellon Univ., pp. 1-10, 1994.

И. Виноградов, Основы теории чисел: Учебное пособие.

-е изд., СПб.: Издательство «Лань», 2009, 271 с.

А. Белецкий, А. Белецкий, "Симметричный блоч-

ный криптоалгоритм", Захист інформації, № 2 (29),

С. 42-51, 2006.

Р. Скуратовський, П. Мовчан, "Нормалiзацiя скру-

ченої кривої Едвардса та дослiдження її властиво-

стей над Fp", Збiрник праць 14 Всеукраїнської науково-

практичної конференцiї. ФТI НТУУ "КПI", Том 2,

С. 102-104, 2016.

Р. Скуратовський, "Дослiдження властивостей

скрученої кривої Едвардса. Конференцiя держав-

ної служби спецiального зв’язку та захисту iнфор-

мацiї". [Електронний ресурс]. Режим доступу:

http://www.dstszi.gov.ua/dstszi/control/uk/publis

h/article?showHidden=1artid=252312cat id=240232

ctime=1464080781894

А. Бессалов, О. Цыганкова, "Взаимосвязь семейс-

тва точек больших порядков кривой Эдвардса над

простым полем", Захист інформації, Т. 17, № 1,

С. 73-80, 2015.

R. Skuratovskii, "Twisted Edwards curve and its group

of points over finite field Fp", Лiтня школа "Алгебра,

Топологiя, Аналiз", Одеса, pp. 122-124, 2016.

R. Skuratovskii, U. Skruncovich, "Twisted Edwards

curve and its group of points over finite field Fp",

Conference. Graphs and Groups, Spectra and Symmetries.

Akademgorodok, Novosibirsk, Russia. http://math.

nsc.ru/conference/g2/g2s2/exptext/SkruncovichSk

uratovskii-abstract-G2S2.pdf

M. Рид, Алгебраическая геометрия для всех, Москва:

Мир, 1991, 143 с.

H. Huseyin, K. W. Kenneth, C. Gary. "Twisted Edwards

Curves Revisited", ASIACRYPT LNCS 5350,

pp. 326-343, 2008.

С. Степанов, Арифметика алгебраических кривых. М.:

Наука, 1991, 368 с.

N. Koblitz, "Eliptic Curve Cryptosystems",

Mathematics of Computation, vol. 48, no. 177, pp. 203-

, 1987.

І. Сергієнко, В. Задірака, О. Литвин, Елементи за-

гальної теорії оптимальних алгоритмів та суміжні пи-

тання, К.: Наук. думка, 2012, 400 с.

О. Рибак, "Розкладність рядків та звідність много-

членів", У світі математики, № 4, C. 18-29, 2006.

Р. Скуратовский, "Метод быстрого таймерного ко-

дирования текстов”, Кибернетика и системный ана-

лиз, Т. 49, № 1, С. 154-160, 2013.

В. Долгов, "Эллиптические кривые в криптогра-

фии", Системи обробки інформації, № 6 (73). С. 3-10,

А. Болотов, С. Гашков, А. Фролов, А. Часовских,

Элементарное введение в эллиптическую криптографию,

М.: КомКника, Т. 2., 2006, 328 с.

Published

2018-03-27

Issue

Section

Articles